Dalam aljabar matriks iteratif, kita membutuhkan kerangka matematis yang ketat untuk mengukur "ukuran" vektor dan matriks. Metrik ini memungkinkan kita menentukan apakah pendekatan mendekati solusi yang benar. Norma vektor dan matriks memetakan array berdimensi tinggi ke bilangan real tak negatif sambil mempertahankan sifat aljabar tertentu yang membatasi kesalahan dan menjamin konvergensi.
Dasar Aksiomatis Norma
Definisi 7.1: Norma Vektor
Norma vektor $\|\cdot\|$ pada $\mathbb{R}^n$ harus memenuhi empat kriteria:
- Non-negatif: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- Ketepatan: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- Homogenitas Mutlak: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- Ketidaksamaan Segitiga: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
Metrik Utama: $l_2$ dan $l_\infty$
Menurut Definisi 7.2, norma yang paling krusial untuk analisis numerik adalah:
- Norma Euklides ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Secara geometris, jarak terpendek dari titik asal.
- Norma Maksimum ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Ini menangkap besar nilai komponen terbesar.
Definisi-definisi ini memungkinkan kita mendefinisikan jarak antara solusi eksak $\mathbf{x}$ dan pendekatan $\mathbf{y}$ sebagai $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Definisi 7.4).
Norma Matriks dan Penguatan yang Ditimbulkan
Norma matriks menambahkan sifat kelima yang bersifat "sub-multiplicative" (Definisi 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.
Teorema 7.11: Jumlah Baris Maksimum
Untuk matriks $n \times n$ $A$, norma $l_\infty$ alami dihitung sebagai nilai maksimum dari jumlah absolut elemen baris:
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
Contoh Kerja: Perhitungan Vektor dan Matriks
Pertimbangkan $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ dan $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Norma Vektor
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.
Norma Matriks $l_\infty$
Baris 1: $|1|+|2|+|-1|=4$Baris 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
Baris 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
Hasil: $\|A\|_\infty = 7$.
šÆ Prinsip Utama
Meskipun bentuk 'ukuran' tertentu berubah antar norma, Teorema 7.7 menjamin ekivalensi: konvergensi dalam norma $l_\infty$ menyiratkan konvergensi dalam norma $l_2$ dan sebaliknya.
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$